Стохастические процессы

Содержание

Стохастичность в естественных науках

Примером реального случайного процесса в нашем мире может служить моделирование давления газа при помощи Винеровского процесса. Несмотря на то, что каждая молекула газа движется по своему строго определённому пути (в данной модели, а не в реальном газе), движение совокупности таких молекул практически нельзя просчитать и предсказать. Достаточно большой набор молекул будет обладать стохастическими свойствами, такими как наполнение сосуда, выравнивание давления, движение в сторону меньшего градиента концентрации и т. д. Таким образом проявляется эмерджентность системы.

Физика

Метод Монте-Карло получил распространение благодаря физикам Станиславу Уламу, Энрико Ферми, Джону фон Нейману и Николасу Метрополису. Название произошло от казино в городе Монте Карло, Монако, где дядя Улама занимал деньги для игры. Использование природы случайностей и повторов для изучения процессов аналогично деятельности, происходящей в казино.

Методы проведения расчётов и экспериментов на основе случайных процессов как формы стохастического моделирования применялись ещё на заре развития теории вероятностей (напр. Задача Буффона и работах по оценке малых выборок Уильяма Госсета), но наиболее развились в предкомпьютерную эру. Отличительной чертой методов моделирования Монте-Карло является то, что сначала идёт поиск вероятностного аналога (см. алгоритм имитации отжига). До этого методы моделирования шли в противоположном направлении: моделирование использовалось для того, чтобы проверить результат полученной ранее детерминированной проблемы. И хотя подобные подходы существовали до этого, они не были общими и популярными до тех пор, пока не появился метод Монте-Карло.

Возможно, наиболее известное из ранних применений подобных методом принадлежит Энрико Ферми, который в 1930 году использовал стохастические методы для расчёта свойств только что открытого нейтрона. Методы Монте-Карло широко использовались в ходе работы над манхэттенским проектом, несмотря на то, что возможности вычислительных машин были сильно ограничены. По этой причине только с появлением компьютеров методы Монте-Карло начали широко распространяться. В 1950-х их использует Лос-Аламосская национальная лаборатория для создания водородной бомбы. Широкое распространения методы получили в таких областях, как Физика, Физическая химия и Исследование операций.

Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию генераторов псевдослучайных чисел, которые были намного быстрее, чем табличные методы генерации, которые ранее использовались для статистической выборки.

Одной из программ, где практически используются методы Монте-Карло, является MCNP.

Биология

  • Стохастический резонанс

В биологических системах было введено понятие ‘стохастического шума’, который помогает усилить сигнал внутренней обратной связи. Применяется для контроля за обменом веществ у диабетиков. Также имеет место понятие «стохастичности речевых сигналов».

Медицина

  • Стохастическая теория гемопоэза

Примером подобных стохастических эффектов может служить рак.

Обзор индикатора Stochastic Oscillator

Стохастический осциллятор, как и другие инструменты этой категории, устанавливается в отдельном окне под графиком цены. Внешне он напоминает RSI (в отличие от MACD и Awesome Oscillator, Stochastic – линейный, а не гистограммный осциллятор). Однако в классическом виде Стохастик имеет не одну, а две скользящих, и со стандартными настройками этот индикатор гораздо динамичнее RSI, и чаще заходит в экстремальное состояние перекупленности или перепроданности.

Быстрая линия стохастического индикатора, обозначающаяся как %К, выстраивается, исходя из последнего значения цены (цены закрытия последнего таймфрейма), а также минимума и максимума цены за рассматриваемый период. Чем выше текущая цена по отношению к остальным параметрам, тем выше последняя точка линии %К в окне Стохастика.

Медленная линия, которая в оригинальной версии индикатора строится пунктиром, обозначается как %D, и является скользящей средней относительно %К. Если от периода %К зависит, сколько значений цены будет учитываться при построении быстрой линии, то период %D определяет, сколько последних значений %К будет принято в расчет при построении медленной линии.

Благодаря наличию двух линий осциллятора трейдер получает больше вариантов сигналов, которые можно использовать для торговли.

Установка и настройка Стохастического индикатора

Stochastic Oscillator входит в стандартный пакет технических инструментов терминала MetaTrader 4. Существует несколько способов установки его в окно графика.
Самый простой вариант – выбрать вкладку «Список индикаторов» в верхней панели инструментов (иконка с зеленым плюсом). В выпадающем списке необходимо выбрать категорию «Осцилляторы», а в ней – «Stochastic Oscillator».

Второй способ – через вкладку «Вставка» главного меню торговой платформы. Далее выбираем «Индикаторы» – «Осцилляторы» – «Stochastic Oscillator».

После выбора индикатора откроется окно настроек Стохастика. Важные значения, влияющие на поведение инструмента на графике, находятся во вкладке «Параметры».

Период %К – основной параметр. От него зависит резкость индикатора. Чем больше значение %К, тем более плавно будет вести себя осциллятор. Причем этот параметр также влияет и на движение скользящей средней %D, так как второй период рассчитывается, исходя из значения %К.

Период %D отвечает только за поведение пунктирной линии. Чем его больше значение, тем более сглаженной будет скользящая, при этом линия %К может оставаться быстрой, и это увеличит степень расхождения между ними.

Замедление регулирует чувствительность осциллятора к резким движениям цены. С увеличением этого параметра обе линии индикатора становятся более плавными, однако достигается это не учетом большего числа значений цены, как в случае с %К, а отсевом «рыночных шумов».

Также в этом окне можно изменить метод скользящих средних и цену, которая учитывается при расчете параметров (минимум/максимум или закрытие).

Во вкладке «Уровни» можно добавить или удалить горизонтальные уровни, а также изменить параметры существующих. Это никак не повлияет на движение самого индикатора, но позволит получать разные
сигналы, в зависимости от требований торговой системы.

Торговля по Stochastic Oscillator

Стохастический осциллятор можно использовать как в одиночку, так и в составе торговой стратегии. И хотя самая эффективная роль для Стохастика – это фильтрация показаний других индикаторов, необходимо знать основные сигналы, которые может поставлять этот осциллятор.

Пересечение линий

Самый простой сигнал Stochastic Oscillator – пересечение основной и пунктирной линии.

Сделки открываются в направлении пересечения линий: если быстрая (сплошная) линия пересекает медленную (пунктирную) снизу вверх – открывается сделка на покупку, если наоборот – на продажу.
Нужно учитывать, что Стохастик является одним из самых резких осцилляторов, и он будет давать множество сигналов, немалая часть из которых окажется ложными. Поэтому при торговле по этому методу необходимо как минимум устанавливать жесткий стоп лосс.

Выход из зоны перекупленности/перепроданности

Когда Стохастик заходит выше верхнего или ниже нижнего уровня, это свидетельствует о том, что текущая цена существенно ниже или выше предыдущих значений. Таким образом создается локальная перекупленность или перепроданность рынка, что можно использовать для торговли.

Сделки на покупку имеет смысл открывать тогда, когда индикатор вначале опустится в зону перепроданности, а затем пересечет нижний уровень снизу-вверх. Сделки на продажу открываются в зеркальной ситуации. Для того, чтобы уменьшить число ложных сигналов, рекомендуется пропускать вход в зону только одной, быстрой линии.

Торговля по перекупленности и перепроданности имеет смысл лишь во флете. В периоды сильного тренда Стохастик довольно быстро входит в зону, однако цена может продолжать двигаться в том же направлении и после того, как обе линии пересекут уровень в обратном направлении.

Дивергенция

Дивергенция считается одним из самых сильных сигналов любого осциллятора, и Стохастик – не исключение. Проявляется он в расхождении направления линий, соединяющих последние несколько соответствующих вершин или впадин на графике и индикаторе.

Бычья дивергенция образуется, когда минимумы на графике продолжают снижаться, но на индикаторе последняя впадина выстраивается выше предыдущей. Таким образом линия, соединяющая впадины на графике, направлена вниз, а линия, соединяющая минимумы индикатора, уже направлена вверх.

Медвежья дивергенция образуется в обратной ситуации: на графике продолжают образовываться все более высокие пики, но на индикаторе последняя вершина формируется ниже, чем предыдущая.

Направление линии, соединяющей минимумы или максимумы индикатора при дивергенции и указывает, в какую сторону следует открывать позицию.

Стратегия торговли со Stochastic Oscillator и Bollinger Bands

Как показывает практика, торговля по Стохастику становится гораздо эффективнее, если использовать его в связке с трендовым индикатором. Для примера разберем торговую стратегию со стохастическим осциллятором и Полосами Боллинджера.

Оба индикатора устанавливаются на график со стандартными настройками. Система подходит для торговли на любой валютной паре, а также на CFD на акции, и даже криптовалюте. Оптимальные таймфреймы – М15, М30 и Н1.

  • Для открытия сделок на покупку необходимо, чтобы график цены пересек нижнюю линию Полос Боллинджера, а быстрая линия Стохастика пересекла медленную снизу вверх.
  • Для входа в продажи цена должна пересечь верхнюю линию BB, а быстрая линия стохастического осциллятора пересекла медленную сверху вниз.

Сигнал считается более сильным, если пересечение линий Стохастика на покупку происходит в зоне перепроданности, а на продажу – в зоне перекупленности.

Выходить из сделки можно либо при пересечении ценой средней линии Полос Боллинджера, либо при входе Стохастика в противоположную зону. Стоп лосс выставляется ниже ближайшего локального минимума, либо выше максимума.

Профессиональная стратегия торговли со Stochastic Oscillator, АС и МА

В завершение статьи рассмотрим более сложную систему, в которую входит три индикатора:

  1. Стохастик со стандартными параметрами, но добавленным уровнем 50.
  2. Простая скользящая средняя с периодом 50.
  3. Осциллятор АС со стандартными настройками.

Оптимальный таймфрейм для торговли – Н4, хотя система подходит и для других интервалов.

Сделки на продажу по данной ТС открываются при соблюдении следующих условий:

  1. График цены пересекает скользящую среднюю сверху вниз.
  2. Стохастический осциллятор пересекает уровень 50 в том же направлении.
  3. АС рисует второй красный столбик подряд.

Стоп лосс устанавливается выше ближайшего локального максимума, тейк профит – в 3 раза больше стоп лосса, либо чуть выше ближайшего мощного уровня поддержки. Однако тейк не должен быть меньше стопа.

Сделки на покупку открываются в зеркальной ситуации.

Стохастический осциллятор не зря до сих пор пользуется популярностью в биржевой торговле – это эффективный инструмент, особенно полезный начинающим форекс-трейдерам. Торговая система со Стохастиком и еще двумя-тремя надежными и проверенными индикаторами станет отличным инструментом для начала профессиональной торговли, которую впоследствии можно будет усовершенствовать для получения еще больших прибылей.

Торговля на финансовых рынках сопряжена с высоким уровнем риска для капитала. Для того, чтобы снизить риски, рекомендуется четко следовать правилам мани-менеджмента и всегда устанавливать Stop Loss. Все решения, которые принимает трейдер при работе на Форекс являются его личной ответственностью.

Связь с другими индикаторами

Разность между % K t {\displaystyle \%K_{t}} стохастического осциллятора и % R t {\displaystyle \%R_{t}} (Williams %R) в любой момент t {\displaystyle t} равна 1 {\displaystyle 1} :

% K t − % R t = c l o s e t − min i ∈ ( l o w i ) max i ∈ ( h i g h i ) − min i ∈ ( l o w i ) − c l o s e t − max i ∈ ( h i g h i ) max i ∈ ( h i g h i ) − min i ∈ ( l o w i ) = {\displaystyle \%K_{t}-\%R_{t}={\frac {close_{t}-{\underset {i\in }{\operatorname {min} }}(low_{i})}{{\underset {i\in }{\operatorname {max} }}(high_{i})-{\underset {i\in }{\operatorname {min} }}(low_{i})}}-{\frac {close_{t}-{\underset {i\in }{\operatorname {max} }}(high_{i})}{{\underset {i\in }{\operatorname {max} }}(high_{i})-{\underset {i\in }{\operatorname {min} }}(low_{i})}}=}

  1. Стивен Б. Акелис. Стохастический осциллятор (Stochastic Oscillator) // Технический анализ от А до Я. Полный набор инструментов торговли… от «Абсолютного индекса ширины» до «Японских свечей» = Technical Analysis from A to Z: Covers Every Trading Tool… from the Absolute Breadth Index to the Zig Zag / Пер. с англ. М. Волкова, А. Лебедева. — М.: Диаграмма, 1999. — С. 220—223. — 376 с. — ISBN 978-5-902537-13-7, 5-900082-05-09, ГРНТИ 06.73, ББК 65.526.
  • www.investopedia.com Стохастический осциллятор (англ.)
  • Стохастический осциллятор в МТ
Для улучшения этой статьи желательно:

  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

§ 6. Стохастические матрицы

Рассмотрим возможных состояний некоторой системы

(89)

и последовательность моментов времени

Пусть в каждый из этих моментов времени система находится в одном и только в одном из состояний (89), причем обозначает вероятность нахождения системы в состоянии в момент времени, если известно, что в предыдущий момент времени система находилась в состоянии (, ). Мы будем предполагать, что переходные вероятности не зависят от индекса (номера момента времени ).

Если матрица переходных вероятностей

задана, то говорят, что задана однородная цепь Маркова с конечным лом состояний. При этом очевидно, что

, (90)

Определение 4. Квадратная матрица называется стохастической, если матрица неотрицательна и сумма элементов каждой строки матрицы равна единице, т. е. имеют место соотношения (90).

Таким образом, для каждой однородной цепи Маркова матрица переходных вероятностей является стохастической и, наоборот, любая стохастическая матрица может быть рассматриваема как матрица переходных вероятностей некоторой однородной цепи Маркова. На этом основывается матричный метод исследования однородных цепей Маркова.

Стохастическая матрица является частным видом неотрицательной матрицы. Поэтому к ней применимы все понятия и положения предыдущих параграфов.

Отметим некоторые специфические свойства стохастической матрицы. Из определения стохастической матрицы следует, что эта матрица имеет характеристическое число 1 с положительным собственным вектором . Легко видеть, что, и обратно, всякая матрица , имеющая собственный вектор при характеристическом числе 1, является стохастической. При этом единица являются максимальным характеристическим числом стохастической матрицы, поскольку максимальное характеристическое число всегда заключено между наибольшей и наименьшей из строчных сумм, а для стохастической матрицы все строчные суммы равны единице. Таким образом, нами доказано предложение:

1° Неотрицательная матрица является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственный вектор при характеристическом числе 1. Характеристическое число 1 является максимальным для стохастической матрицы.

Пусть теперь дана неотрицательная матрица , имеющая положительное максимальное характеристическое число и соответствующий этому числу положительный собственный вектор:

(91)

Введем в рассмотрение диагональную матрицу и матрицу

Тогда

и в силу (91)

Таким образом,

2° Неотрицательная матрица , имеющая положительное максимальное характеристическое число и соответствующий этому числу положительный собственный вектор , всегда подобна произведению числа на некоторую стохастическую матрицу:

(92)

В предыдущем параграфе была установлена (см. теорему 7) характеристика класса неотрицательных матриц, имеющих положительный собственный вектор при . Формула (92) устанавливает тесную связь этого класса матриц с классом стохастических матриц.

Докажем теперь следующую теорему:

Теорема 10. Характеристическому числу 1 стохастической матрицы всегда соответствуют только элементарные делители первой степени.

Доказательство. Применим к стохастической матрице разложение (69) § 4:

где — неразложимые матрицы и

Здесь — неразложимые стохастические матрицы, и потому каждая из этих матриц имеет простое характеристическое число 1. Что же касается остальных неразложимых матриц , то согласно замечанию 2 на стр. 362 их максимальные характеристические числа , поскольку в каждой из этих матриц хотя бы одна строчная сумма меньше единицы.

Таким образом, матрица представима в виде

где у матрицы характеристическому числу 1 соответствуют элементарные делители первой степени, а для матрицы число 1 не является характеристическим числом. После этого справедливость теоремы непосредственно вытекает из следующей леммы:

Лемма 4. Если матрица имеет вид

(93)

где и — квадратные матрицы, и характеристическое число матрицы является характеристическим числом матрицы и не является таковым для матрицы ,

,

то элементарные делители матриц и , соответствующие характеристическому числу , одинаковы.

Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай, когда и не имеют общих характеристических чисел. Покажем, что в этом случае элементарные делители матриц и в совокупности образуют систему элементарных делителей матрицы , т. е. что при некоторой матрице

(94)

Матрицу будем искать в виде

(разбиение на блоки в соответствует разбиению в ; и — единичные матрицы). Тогда

(94′)

Равенство (94′) перейдет в равенство (94), если прямоугольную матрицу подберем так, чтобы она удовлетворяла матричному уравнению

В случае, когда и но имеют общих характеристических чисел, это уравнение при любой правой части всегда имеет одно определенное решение (см. гл. VIII, § 3).

2. В случае, когда матрицы и могут иметь и общие характеристические числа, мы заменим в (93) матрицу ее жордановой формой (в результате этого матрица заменится матрицей, ей подобной). При этом где в собраны все жордановы клетки с характеристическим числом . Тогда

Эта матрица подходит под разобранный ужо первый случай, поскольку матрицы и не имеют общих характеристических чисел. Отсюда следует, что элементарные делители вида одинаковы у матриц и и, следовательно, одинаковы у матриц и . Лемма доказана.

Если неразложимая стохастическая матрица имеет комплексное характеристическое число с , то матрица подобна матрице (см. (16)) и потому из теоремы 10 вытекает, что числу отвечают только элементарные делители первой степени. Пользуясь нормальной формой матрицы и леммой 4, легко распространить это утверждение и на разложимые стохастические матрицы. Таким образом, получаем

Следствие 1. Если — характеристическое число стохастической матрицы и , то этому числу соответствуют элементарные делители первой степени матрицы .

Из теоремы 10 в силу 2° (стр. 382) вытекает также

Следствие 2. Если максимальному характеристическому числу неотрицательной матрицы отвечает положительный собственный вектор, то все элементарные делители матрицы , соответствующие любому характеристическому числу с , имеют первую степень.

Укажем на некоторые работы, связанные с расположением характеристических чисел стохастической матрицы.

Характеристическое число стохастической матрицы всегда лежит в круге -плоскости. Совокупность всех точек этого круга, являющихся характеристическими числами каких-либо стохастических матриц -го порядка, обозначим через .

В 1938 г. в связи с исследованием цепей Маркова акад. А. Н. Колмогоров поставил задачу определения структуры области . Эта задача была частично решена в 1945 г. Н. А. Дмитриевым и Е. Б. Дыпкипым и полностью решена в 1951 г. в работе Ф. И. Карпелевича . Оказалось, что граница состоит из конечного числа точек на окружности и определенных криволинейных дуг, соединяющих в круговом порядке эти точки.

Заметим, что в силу предложения 2° (стр. 382) характеристические числа матриц , имеющих положительный собственный вектор при , при фиксированном образуют множество . Поскольку произвольная матрица может быть рассматриваема как предел последовательности неотрицательных матриц указанного типа, а множество замкнуто, то характеристические числа произвольных матриц с данным максимальным характеристическим числом заполняют множество .

К этому кругу вопросов относится и работа X. Р. Сулеймановой , в которой устанавливаются некоторые достаточные критерии для того, чтобы заданных вещественных чисел были характеристическими числами некоторой стохастической матрицы .

Способы стохастического факторного анализа

После изучения главы студент должен:

знать

  • • задачи и направления использования стохастического анализа;
  • • основные этапы стохастического анализа;
  • • значимость парной корреляции и формы связей между экономическими показателями;
  • • сущность многофакторной корреляции и регрессии;
  • • сущность и цели использования ранговой корреляции;
  • • условия успешного использования многофакторной корреляции;

уметь

  • • рассчитывать парную корреляцию и отбирать показатели для многофакторных стохастических моделей;
  • • строить многофакторную стохастическую модель;
  • • интерпретировать многофакторную стохастическую модель;

владеть

  • • приемами стохастического анализа;
  • • навыками включения стохастических моделей в систему обоснования плановых и оценочных управленческих решений.

Ключевые слова: корреляционный и регрессионный анализ, парная и множественная регрессия, коэффициент корреляции, стандартная и относительная ошибка аппроксимации.

Методика проведения стохастического факторного анализа основана на обобщении закономерностей варьирования показателей хозяйственной деятельности. Основными методами стохастического моделирования хозяйственных явлений и процессов являются корреляционный и регрессионный анализ.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между признаками, измерению ее тесноты и к оценке достоверности выборочных показателей корреляции. Корреляционная связь – это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого. Корреляционная связь между признаками может быть линейной и нелинейной, прямой (положительной) и обратной (отрицательной). Прямая корреляция отражает однотипность в изменении признаков: с увеличением значений первого признака увеличиваются значения и другого, или с уменьшением первого уменьшается второй. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда. Обратная корреляция указывает на увеличение первого признака при уменьшении второго или уменьшение первого признака при увеличении второго. Например, чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции. Степень, или теснота корреляционной связи определяется коэффициентом корреляции.

Задача регрессионного анализа сводится к выбору типа модели (формы связи), установлению степени влияния независимых переменных на зависимую и определению расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии). По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов).

Парная регрессия. Наиболее распространенной в экономическом анализе является парная регрессия, рассматривающая влияние вариации фактора х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Алгоритм расчета при анализе парной корреляции состоит из следующих этапов:

этап 1 – отбор наиболее существенных факторов, влияющих на результативный показатель (при отборе факторов учитываются причинно-следственные связи между показателями и возможность их количественного измерения); этап 2 – обоснование формы связи; этап 3 – выбор и решение уравнения регрессии;

этап 4 – оценка точности полученного уравнения.

Для решения аналитических задач чаще всего используются следующие формы связи:

1) линейная ,

где у – теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии; а,Ъ – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии. При этом коэффициент при свободном члене а характеризует влияние неучтенных факторов на результирующий показатель;

  • 2) гиперболическая ;
  • 3) параболическая

Уравнения показывают среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признаках на одну единицу его измерения. Параметры уравнения находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений).

Для линейной формы связи система нормальных уравнений имеет следующий вид:

где п – количество наблюдений.

Приведем примеры систем нормальных уравнений для нелинейных зависимостей.

Для гиперболы

Для параболы

Точность модели может быть определена средней относительной ошибкой аппроксимации:

где – величина отклонения фактического значения у от расчетного значения

Принято считать, что если , то это свидетельствует о высокой точности модели; если величина находится в пределах от 10 до 20%, то точность прогноза признается хорошей; точность считается удовлетворительной, если

Пример

Методом корреляционно-регрессионного анализа определить зависимость объема продаж от расходов на рекламу, используя следующие данные (млн руб.).

Продажи (у)

Расходы на рекламу (х)

(Необходимо отметить, что в данном случае используется учебный пример. Для надежных результатов анализа целесообразно иметь не менее 20 пар наблюдаемых значений у и х.)

Для расчета параметров уравнения составляется вспомогательная таблица.

п

ху

х2

150,7964

158,2992

162,0506

173,3048

180,8076

184,5590

190,1861

Итого

24 694

1200,004

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:

Умножив все члены первого уравнения на 20 (140 : 7), получим следующую систему уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое:

В итоге уравнение связи, выражающее связь между объемом продаж и расходами на рекламу, будет иметь следующий вид:

Теоретическая зависимость объема продаж от расходов на рекламу показана во вспомогательной таблице в графе .

Параметр при значении х показывает, что с увеличением расходов на рекламу на 1 тыс. руб., объем продаж будет увеличиваться на 1,8757 тыс. руб.

Для расчета стандартной и относительной ошибки аппроксимации проведем следующие расчеты.

Относительная ошибка аппроксимации:

Значение средней относительной ошибки показывает на достаточно высокий уровень точности построенной модели.

Полученное уравнение связи позволяет производить аналитическую оценку объема продаж в зависимости от величины расходов на рекламу. Например, если предприятие планирует вложить в рекламную кампанию 33 млн руб., следовательно, ожидаемый объем продаж составит

Для количественной оценки тесноты связи используется коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:

Существуют и другие формулы расчета коэффициента корреляции, но результат должен быть одинаковым для всех вариантов расчета. Коэффициент корреляции характеризует только линейные связи. При наличии нелинейной зависимости между варьирующими признаками используются другие показатели связи.

Выделим основные аналитические характеристики коэффициента корреляции:

  • • при отсутствии связи между фактором и результативным показателем ;
  • • при прямой (положительной) связи коэффициент корреляции приобретает положительный (+) знак и находится в пределах от 0 до + 1;
  • • при обратной (отрицательной) связи коэффициент корреляции принимает отрицательное (–) значение и находится в пределах от 0 до –1;
  • • чем сильнее связь между показателями, тем ближе величина коэффициента корреляции к 1.

В практической деятельности при оценке зависимости между показателями используют следующую градацию:

  • • высокая (тесная) степень взаимосвязи – значения коэффициента корреляции находятся в пределах от 0,7 до 0,99;
  • • средняя степень взаимосвязи – значения коэффициента корреляции находятся в пределах от 0,5 до 0,69;
  • • слабая степень взаимосвязи – значения коэффициента корреляции находятся в пределах от 0,2 до 0,49.

В рассмотренном выше примере коэффициент корреляции принимает значение 0,99, что характеризует наличие тесной связи между расходами на рекламу и объемом продаж продукции.

Ранговые коэффициенты корреляции. В аналитической практике могут встречаться такие случаи, когда качества факторного и результативного признаков не могут быть выражены численно. Поэтому для измерения тесноты зависимости используются так называемые непараметрические методы. Наибольшее распространение получили ранговые коэффициенты корреляции, в основу которых положен принцип нумерации значений ряда показателя. При использовании коэффициентов корреляции рангов коррелируются не сами значения показателей х и у, а только номера их мест, которые они занимают в каждом ряду значений.

Рассмотрим ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:

где d – разность рангов каждой пары значений х и у; п – число наблюдений.

Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

где Q – суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов х (равные ранги не учитываются).

Пример

Для определения ранговых коэффициентов корреляции воспользуемся данными семи наблюдений о фондовооруженности труда (тыс. руб./чел.) и выработке на одного рабочего (тыс. руб./чел.). Расчеты приведены в таблице.

Расчет коэффициента Спирмена

Выработка

Фондовооруженность

(X)

Ранг по выработке (р,)

Ранг по фондовооруженности (рх)

d = px — py

784,8

82,33

760,7

78,73

794,8

81,76

830,6

92,64

815,9

89,03

770,6

81,55

790,6

82,83

Сумма

Расчет коэффициента Кендалла

Для расчета коэффициента Кендалла все значения ранжируются по признаку y (выработка), затем по ряду показателя «фондовооруженность» (х) подсчитывается для каждого ранга число последующих рангов ниже данного (число инверсий, их сумму обозначим Q). Выпишем ранги показателей в две строки:

Ранги по у: 12 3 4 5 6 7;

Ранги по х: 12 4 5 3 6 7;

СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Ответив положительно на вопрос о теоретической возможности прогнозирования рыночных цен и валютных курсов, а также кратко рассмотрев основные концепции и теории, на которые следует при этом опираться, перейдем к рассмотрению специфических особенностей валютных курсов, которые должны учитываться при их прогнозировании. Для этих целей используют статистический анализ временных рядов валютных курсов, конечной целью которого является прогнозирование будущего движения курса на основе его текущих и прошлых значений, построения вероятностно-статистической модели и последующей экстраполяции имевшейся в прошлом тенденции на будущее. Из этого вытекают как возможности, так и ограничения в применении статистического анализа в прогностических целях. Так, с его помощью можно получить не интервальные, а точечные количественные значения будущего валютного курса, однако любое существенное изменение на валютном рынке значительно снижает качество прогноза. Статистический анализ временных рядов часто называют стохастическим, так как он описывает эволюцию цен (валютных курсов и их логарифмов) случайными процессами с дискретным вмешательством случая. Для анализа этих случайных процессов используется хорошо развитый математический аппарат стохастического (вероятностного) исчисления. Стохастический анализ проводится в несколько этапов. Из них наиболее значимыми являются:

  • ? извлечение из исходного временного ряда валютных курсов полезной информации;
  • ? исследование существа процесса, порождающего данные, в частности описание характера данных о валютных курсах (случайные, имеющие тренд, периодические, стационарные и т.п.);
  • ? фильтрация данных с целью устранения случайных флуктуаций и шума;
  • ? построение математической (вероятностной) модели (линейной или нелинейной), аппроксимирующей имеющиеся данные;
  • ? прогнозирование валютного курса на основе выбранной модели.

Рассмотрим кратко основные этапы его проведения на примере анализа ЕО&ЕХ-рынка (Forcing Exchange, или FX), международного валютного рынка, работающего круглосуточно, активно в течение пяти рабочих дней недели и с понижением активности в выходные и праздничные дни. Многие информационные агентства (Reuters, Telerate, Knight Ridder, Bloomberg и др.) постоянно доставляют потребителям миллионы битов информации разного содержания, например курс покупки и продажи (bid and ask prices) валют в текущий момент времени, название и местоположение банка, объявившего эти цены, максимальный и минимальный курс за прошедшие сутки и др.

Первоочередной задачей анализа эволюции валютных курсов является извлечение из поступающей информации статистических данных изменений в значениях курсов в абсолютных или относительных величинах, а также длин междутиковых интервалов, временная динамика которых во многих случаях носит характер, представленный на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Динамика валютного курса S° = (EUR /CHF)», I. a t0

Следующим этапом является исследование особенностей динамики валютных курсов с целью выявления ее характера. Принято выделять три географические зоны активности валютных операций в течение суток (время указано по Гринвичу):

  • ? Восточно-Азиатская, центр в Токио (21:00—7:00);
  • ? Европейская, центр в Лондоне (7:00—13:00);
  • ? Американская, центр в Нью-Йорке (13:00—20:00).

В результате динамика изменения валютных курсов приобретает специфическую, свойственную только им цикличность (рис. 3.5).

На рисунке 3.5 по горизонтали отложено время с 5-минутным интервалом, по вертикали отложено среднее число изменений (тиков), происшедших на соответствующем интервале. На этом графике четко видна суточная цикличность, обусловленная вращением Земли, и неоднородность в числе изменений (тиков) в течение дня. При этом явно выделяются три пика бизнес-активности, относящихся к трем географическим зонам. В коллективной работе зарубежных ученых «Географическая модель дневной и недельной цикличности на мировом валютном рынке» дано разложение этой периодической составляющей (по суткам, в течение недели) в сумму трех периодических компонент, позволяющее более корректно учитывать наличие факторов периодичности при прогнозе будущего движения валютных курсов.

Рис. 3.5. Динамика валютного курса EUR/USD от понедельника до пятницы с 5-минутным интервалом

Внутридневную активность (т.е. среднее число «тиков» валютного курса в течение каждого из 24 часов) можно увидеть на графике, построенном по данным агентства Рейтер (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Среднее число «тиков» валютного курса в течение одного дня (24 ч)

Проведенные зарубежными учеными аналитические исследования обширных статистических данных выявили большие различия между статистическими свойствами и динамикой валютных курсов и ценами акций, облигаций и других ценных бумаг, фондовыми индексами и т.п. Эти различия обязательно должны учитываться при выборе соответствующих математических моделей для анализа и прогнозирования курсов валют. Так, например, кроме отмеченных выше свойств валютных курсов (суточная цикличность и внутрисуточная неоднородность), в отличие от фондовых индексов типа Доу-Джонса и S&P 500, в эволюции курсов валют четко прослеживается фрактальная структура (по крайней мере для малых временных интервалов At > 0) и тенденция сохраняется со временем, что значительно увеличивает риск операций с валютами с увеличением времени поддержания валютной позиции. Видимо, этот феномен объясняет, почему валютные трейдеры отдают предпочтение не долгосрочным операциям, а активной краткосрочной торговле.

Кроме того, для валютных курсов наблюдается так называемый эффект кластерности (группирования) в поведении «активности», измеряемой волатильностью (изменчивостью). Сущность эффекта кластерности, известного с 1963 г. из работ Б. Мандельброта, состоит в том, что, как правило, вслед за большими значениями волатильности следует снова ожидать большие значения, а вслед за малыми — снова малые. Иначе говоря, вслед за большими изменениями валютного курса с большей вероятностью последуют также большие изменения, а вслед за малыми — малые, но неизвестно, с каким знаком, что говорит о возможности частых значительных потерь прибыли. Наглядно эти свойства хорошо видны на рис. 3.7 и реально наблюдаются для многих других финансовых индексов (курсов ценных бумаг, значений фондовых индексов и т.д.).

Данные о состоянии валютного рынка в каждый момент времени содержат две котировки: курс продажи (ask price) и курс покупки (bid price). Разница между ними — спрэд — важная характеристика состояния валютного рынка. Так, в финансовой математике хорошо известно, что спрэд положительно коррелирован с изменчивостью (волатильностью) курса. Тем самым возрастание изменчивости валютного курса, характеризующее увеличение неопределенности, увеличивает риск в связи с меньшей точностью прогноза в движении валютных курсов, что, в свою очередь, приводит к увеличению спрэда как средства компенсации за большой риск. Кроме того, одной из важных характеристик, позволяющих судить о степени изменчивости валютных курсов, является так называемая А-волатилъностъ, которая характеризует изменчивость изменчивости (волатильности) валютных курсов с течением времени. График на рис. 3.8 иллюстрирует неоднородность и периодичность (цикличность) в течение недели в поведении Д-волатильности.

Рис. 3.7. Эффект кластерное™ валютного курса DEM/USD. Временной интервал — 20 мин.; значение 504 соответствует одной неделе; 2016 — четырем неделям

Рис. 3.8. График Д-волатильности валютного курса DEM/USD (Д = 1 ч) в течение недели

В 90-х гг. XX в. с развитием компьютерной техники резко повысилась эффективность получения, хранения и анализа статистической информации, поступающей почти непрерывно, появилась возможность анализа валютных курсов в течение дня. В. результате выявился высокочастотный (интенсивный) характер динамики валютных курсов, к тому же весьма хаотично изменяющихся во времени, что затрудняет оперативное прогнозирование в течение дня.

Помимо высокочастотной составляющей современная компьютерная техника позволила выявить ряд других специфических особенностей динамики валютных курсов и других финансовых индексов, среди которых отметим нелинейный характер формирования значений этих показателей и «последействие», выражающееся в том, что многие индексы «помнят» прошлое. Данный эффект последействия указывает на возможность прогнозирования будущей динамики валютных курсов с использованием теоретических моделей, соответствующих реальным статистическим данным.

В 70-х гг. XX в. и ранее в экономике и финансах в основном оперировали данными, фиксируемыми через большие временные интервалы — год, квартал, месяц, неделя. При их анализе использовалось предположение стационарности и широко применялись разнообразные «стандартные» линейные стохастические (вероятностно-статистические) модели. Типичными среди них являются модели скользящего среднего, авторегрессии и их комбинации и т.п. Они показывают зависимость текущих значений валютного курса от его прошлых значений (одномерная модель) или от нескольких переменных, например процентных ставок каждой из валют (многомерная модель). Эти модели исследуются в теории временных рядов, а их применению при анализе финансовых данных посвящено много научных публикаций. Причины популярности этих моделей в их простоте и в том, что уже с небольшим числом параметров ими можно хорошо аппроксимировать весьма широкий класс стационарных последовательностей.

Однако, как отмечалось, не все временные ряды (особенно ряды валютных курсов и других финансовых показателей) являются линейными и стационарными, эмпирическое подтверждение этому позволило получить дальнейшее развитие компьютерной техники. В итоге с 80-х гг. прошлого века стал возможен анализ дневных данных, а затем, в 1990-х гг., и анализ данных в течение дня. В результате, как отмечалось, в финансовой статистике были выявлены феномены типа «кластерности» цен, их «катастрофических» изменений, наличие «долгой памяти» в ценах и другие, которые плохо описывались линейными моделями. В 1980-х гг. появились нелинейные математические модели, хорошо описывающие выявленные феномены.

Наибольшее распространение получили следующие нелинейные модели: ARCH (.Autoregressive Conditional Heteroskedasticity — авторегрессионная условная неоднородность, введена в 1980 г. Р. Энглом), GARCH {GeneralizedARCH—обобщенная модель ARCH, введена Т. Боллерслевом в 1987 г.) и целый класс сходных моделей (HARCH, EGARCH, TGARCH и др.). позволяющих кроме эффекта кластерное™ учесть и некоторые другие эмпирические феномены динамики валютных курсов. Данные модели включены в последние версии компьютерных аналитических пакетов программ (например, MetaStock) и, по оценкам практиков, работают хорошо. Однако точность прогнозирования зависит от удачного выбора теоретической модели и точности ее «настройки» в виде определяющих модель параметров. Поэтому при выборе конкретной модели необходимо понимание того, какие временные свойства (цикличность, фрактальность и т.п.) реальных данных валютных курсов могут учитываться описанными линейными и нелинейными моделями.

Анализ показывает, что в статистических финансовых данных часто весьма четко выделяются три основные составляющие:

  • ? медленно меняющийся (например, «инфляционный» тренд);
  • ? периодические или непериодические циклы;
  • ? нерегулярная компонента.

Колеблются макроэкономические индексы, используемые при фундаментальном анализе и дающие представление о состоянии экономики в среднем, «в целом» (объем производства, спрос, потребление, общий уровень цен, процентных ставок и т.д.). Колеблются и микроэкономические индексы (валютные курсы, текущие цены, объемы операций с акциями и т.д.). При этом колебания носят весьма высокочастотный и нерегулярный характер, который наблюдается в стохастических и в хаотических моделях, что и объясняет попытки описания такими моделями нерегулярных колебаний, резких переходов на новый уровень значений валютного курса, «катастрофических» скачков, кластерное™ (сгруппированости) значений и т.п. Многие экономические показатели имеют в среднем трендовый характер (объем производства, величина государственных запасов и т.д.), однако это движение может то убыстряться, то замедляться; идти циклами (как периодическими, так и непериодическими). При анализе статистических данных в динамике валютных курсов особенно четко выражены, как правило, нерегулярная и периодическая (сезонная) составляющие. В этом случае необходим выбор более сложного метода прогаозирования, чем в случае стационарного ряда, и правильный выбор модели является делом весьма непростым. Подбор модели для временных рядов курсов валют следует начинать с простых линейных гауссовских моделей. Далее необходимо их постепенно корректировать, усложнять для получения модели, адекватной тем феноменам, которые обнаруживаются при эмпирическом анализе (скажем, отклонение от гауссовости, эффекты «кластерное™» цен и «долгая память» в ценах и т.п.). В этом случае используются нелинейные модели.

По поводу того, какими моделями следует пользоваться при прогнозировании валютного курса — стохастическими (вероятностностатистическими), хаотическими («детерминированный хаос») или какими-то еще — нет единодушного мнения, и существует много аргументов и много сторонников в пользу всех этих подходов.

  • Междутиковый интервал — временной интервал между изменениями валютногокурса (тиками).
  • Dacorogna М.М., Muller VA.,NaglerR.J., Olsen R.B., Pictet О. V. A geographical modelfor the daily and weekly seasonal volatility in the foreign exchange market // Journal of international Money and Finance. 1993. V. 12. № 4. P. 413—438.
  • Будучи синонимом изменчивости, термин «волатильность» используется в качестве меры неопределенности; вычисляется волатильность разными способами (например, мерой может служить стандартное отклонение
  • См. материалы Первой международной конференции по высокочастотным финансовым рынкам (29 —31 марта 1995 г., Цюрих, Швейцария).
  • Стационарный — такой показатель, индивидуальные значения которого, меняясьво времени, не изменяют среднего значения на достаточно продолжительном промежуткевремени.
  • Описание этих и других нелинейных моделей приводится в книге: Ширяев Л.Н.Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М. : ФАЗИС,1998.

Детерминированные и стохастические системы. Виды информационных систем

Виды информационных систем

Классификация ИС: по виду формализованного аппарата представления (детерминированные, стохастические); по сложности структуры и поведения; по степени организованности («хорошо» и «плохо» организованные, самоорганизующиеся).

Классификация информационных систем

Системы разделяются на классы по различным признакам, и в зависимости от решаемой задачи можно выбрать разные принципы классификации. При этом систему можно охарактеризовать одним или несколькими признаками. Системы классифицируются следующим образом:

по виду отображаемого объекта—технические, биологические и др.;

по виду научного направления — математические, физические, химические и т. п.;

по виду формализованного аппарата представления системы — детерминированные и стохастические;

по типу целеустремленности — открытые и закрытые;

по сложности структуры и поведения—простые и сложные;

по степени организованности — хорошо организованные, плохо организованные (диффузные), самоорганизующиеся системы.

Классификации всегда относительны. Так в детерминированной системе можно найти элементы стохастических систем.

Цель любой классификации ограничить выбор подходов к отображению системы и дать рекомендации по выбору методов.

Технические, биологические и др. системы

Технические системы. Параметрами технических объектов являются движущие объекты, объекты энергетики, объекты химической промышленности, объекты машиностроения, бытовая техника и многие другие. Объекты технических систем хорошо изучены в теории управления.

Экономические объекты. Экономическими объектами являются: цех, завод, предприятия различных отраслей. В качестве одной из переменных в них выступают экономические показатели — например — прибыль.

Биологические системы. Живые системы поддерживают свою жизнедеятельность благодаря заложенным в них механизмам управления.

Если внешние воздействия, приложенные к системе (управляющие и возмущающие) являются определенными известными функциями времени u=f(t). В этом случае состоянии системы описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, в любой момент времени t может быть однозначно описано по состоянию системы в предшествующий момент времени. Системы для которых состояние системы однозначно определяется начальными значениями и может быть предсказано для любого момента времени называются детерминированными.

Стохастические системы — системы изменения в которых носят случайный характер. Например воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных воздействиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в последующий момент времени.

Случайные воздействия могут прикладываться к системе из вне, или возникать внутри некоторых элементов (внутренние шумы). Исследование систем при наличии случайных воздействий можно проводить обычными методами, минимизировав шаг моделирования чтобы не пропустить влияния случайных параметров. При этом так как максимальное значение случайной величины встречается редко (в основном в технике преобладает нормальное распределение), то выбор минимального шага в большинстве моментов времени не будет обоснован.

В подавляющем большинстве случаев при проектировании систем закладываются не максимальным а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае поучается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы системы в отдельные промежутки времени. Например установка катодной защиты.

Расчет систем при случайных воздействиях производится с помощью специальных статистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на основании множества испытаний. Например карта поверхности уровня грунтовых вод СПб.

Статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распределения или плотности вероятности.

Стохастические системы

  • Третья группа — стохастические методы

    Они предполагают учет вероятностного характера вида связи не только между показателями отчетности и факторами, их определяющими, но и между отдельными факторами с формированием «области прогнозных значений» финансовой модели. Результаты стохастического факторного анализа позволяют, кроме определения…
    (Анализ финансовой отчетности)

  • Характеристика методов стохастического факторного анализа

    На практике не все экономические явления можно изучать с помощью четкой функциональной зависимости. Для таких процессов характерно то, что за причиной некоторого явления не всегда наступает следствие. Купив лотерейный билет, не стоит сразу записываться на курсы водителей автомобиля. Такие процессы носят…
    (Управленческий анализ)

  • Методы принятия управленческих решений на основе стохастического факторного анализа

    Метод корреляционно-регрессионного анализа Основные задачи корреляционного-регрессионного анализа При решении многих задач, возникающих при проведении экономического анализа, требуется получение ответа на вопросы: влияет ли тот или иной фактор на рассматриваемый экономический показатель,…
    (Методы принятия управленческих решений)

  • Как принимаются решения в условиях стохастической неопределенности?

    Предположим, что результаты, полученные по правилам принятия решений в ситуации полной неопределенности, нас не удовлетворяют. В этом случае необходима дополнительная информация. Можно воспользоваться услугами консалтинговой фирмы, но в том случае, если стоимость ее услуг не превышает той, что мы можем…
    (Антикризисное управление, механизмы государства, технологии бизнеса)

  • Принципы построения и системного анализа сетей стохастической структуры

    При изложении основных принципов построения и анализа диаграмм причинно-следственных связей рассматриваемого типа логично руководствоваться теми начальными сведениями о них, которые были изложены ранее (см. параграф 9.3). Поэтому в данной главе продемонстрируем только возможности их использования (преимущественно…
    (Управление рисками, системный анализ и моделирование)

  • Апробация метода количественного анализа происшествий на основе стохастической сети типа GERT

    Разработанная выше сетевая модель, а также выражения входящих в нее функций и значения их параметров использованы при прогнозировании вероятности и времени до аварийного разгона турбины. Решение данной задачи осуществлялось по правилам параграфа 12.1. Для определения пропускной способности этой сети…
    (Управление рисками, системный анализ и моделирование)

  • Метод стохастической аппроксимации и его модификация

    В технической кибернетике часто приходится решать задачи, когда объект управления представляет собой сложную систему, структура и взаимосвязи между элементами которой исследователю неизвестны. Поэтому объект представляется в виде «черного ящика» (рис. 11.1). Рис. 11.1. Объект исследования…
    (Методы социально-экономического прогнозирования. Т.2.)

  • Способы стохастического факторного анализа

    После изучения главы студент должен: знать • задачи и направления использования стохастического анализа; • основные этапы стохастического анализа; • значимость парной корреляции и формы связей между экономическими показателями; • сущность многофакторной корреляции и регрессии; • сущность…
    (Теория экономического анализа)

  • Интерпретация де Бройля – Бома и стохастическое истолкование

    Интерпретация де Бройля – Бома Французский физик Л. де Бройль известен как изобретатель корпускулярно-волнового дуализма. Дуализм редко кем приветствуется. Естественно, де Бройль стремился его преодолеть. В этой связи родилась его идея о том, что квантовая механика описывает поведение частиц,…
    (История, философия и методология естественных наук)

  • Стохастическая интерпретация Э. Нэлсона

    Д. Бом считал, что квантовая частица движется под управлением волны-пилота. Вместо волны-пилота можно взять некоторое фоновое поле. Разумеется, оно должно быть таким, чтобы, в конечном счете, выйти на аппарат квантовой механики. В этом отношении показательна стохастическая интерпретация квантовой механики,…
    (История, философия и методология естественных наук)

Вам также может понравиться

Об авторе admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *