Кобба дугласа функция

Производственная функция Кобба — Дугласа и ее свойства

Неоклассические модели экономического роста строятся на базе производственной функции и основаны на предпосылках полной занятости, гибкости цен на всех рынках, а также полной взаимозаменяемости факторов производства. Попытки исследовать, в какой степени качество факторов производства и различные пропорции в их сочетании воздействуют на экономический рост, привели к созданию модели производственной функции Кобба — Дугласа Экономическая теория: Учебник / Под ред.А.Г. Грязновой, Т.В. Чечелевой. — М.: Изд. «Экзамен», 2004. .

Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преобразования простейшей производственной функции Y = F (L,K) в модель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следующий вид: Y = A K L, где изменяется в пределах от 0 до 1, а = 1 — .

Функция Кобба — Дугласа содержит два переменных фактора производства — труд L и капитал K. Параметр А — коэффициент, отражающий уровень технологической производительности, и в краткосрочном периоде он не изменяется. Показатели и — коэффициенты эластичности объема выпуска Y по фактору производства: — по капиталу, а — по труду. Если цена капитала равна предельному продукту капитала, а цена труда равна предельному продукту труда, то параметры и определяют пропорцию, в которой труд и капитал получают свое вознаграждение за созданный продукт. Доля капитала в доходе составит величину Y, а доля труда в доходе — величину Y. Так как = 1 — , то + = 1, из чего следует, что мы имеем дело с постоянной отдачей от масштаба.

В поисках путей наибольшей эффективности производства нас всегда должна интересовать предельная производительность участвующих в нем факторов, с помощью которой определяется оптимальный объем используемых ресурсов. Придельный продукт капитала MPK пропорционален отношению доли капитала в доходе к объему использованного капитала: MPK = Y/K. Аналогично определяется и предельная производительность труда: MPL = Y/L.

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба — Дугласа.

Первое свойство — постоянство отдачи от масштаба — описывается формулой F (nK,nL) = n AKL, которая показывает, что если количество капитала и труда увеличить в n раз, то объем совокупного выпуска, или объем дохода, возрастет в такое же количество раз.

Второе свойство функции Кобба — Дугласа связано с изменением предельной производительности факторов. Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использовать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная производительность труда MPL увеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала MPK снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной технологии приводит к отклонению от оптимального объема совокупного выпуска, т.е. к неэффективности производства.

Однако, если увеличится параметр А, например, при внедрении более производительной технологии, то будет наблюдаться одновременное повышение MPK и MPL, что является условием интенсивного экономического роста.

Третье свойство производственной функции Кобба — Дугласа — постоянство отношения дохода труда к доходу от капитала /, т.е. постоянство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте.

Производственная функция Кобба-Дугласа и ее свойства

Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преоб­разования простейшей производственной функции У= F(L, К) в такую мо­дель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознагражда­ется участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следую­щий вид:

Функция Кобба-Дугласа — модель с двумя переменными факторами производства. Параметр А — коэффициент, отражающий уровень техно­логической производительности и в краткосрочном периоде он не изме­няется. Показатели а и j3- коэффициенты эластичности объема выпус­ка (К) по фактору производства, т. е. по капиталу К и труду L соответ­ственно. При этом, если каждый из факторов оплачивается в соответ­ствии со своим предельным продуктом, то а и /3 показывают доли капи­тала и труда в совокупном доходе. Иными словами, если цена капита­ла равна предельному продукту капитала, а цена труда равна предель­ному продукту труда, то параметры а и /3 определяют пропорцию, в ко­торой труд и капитал получают свое вознаграждение за созданный про­дукт, т. е. долю капитала в доходе aY и долю труда в доходе /3Y. Так как /3= 1 — α, то а + /3= 1, из чего следует, что мы имеем дело с постоянной отдачей от масштаба. Интересно рассмотреть эмпирические значения параметров функции Кобба-Дугласа: А = 1,1; а = 1/4; /J = 3/4.Следовательно, доля капитала в национальном доходе составляет 25%, а доля тру­да — 75%.

В поисках путей наибольшей эффективности производства нас всегда должна интересовать предельная производительность участвующих в нем факторов’, с помощью которой определяется оптимальный объем исполь­зуемых ресурсов. Предельный продукт капитала МРК пропорционален от­ношению доли капитала в доходе к объему использованного капитала: МРк = аУ/ К. Аналогично определяется и предельная производительность труда: MPL =/3Y/L.

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа.

Первое свойство — постоянство отдачи от масштаба- описывается формулой F(nK,nL) = п А К°ЬВ и означает, что если увеличить использова­ние капитала и труда в n раз, то объем совокупного выпуска, или объем до­хода, возрастет в такое же число раз.

Второе важное свойство функции Кобба-Дугласа связано с изменением предельной производительности факторов.Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использо­вать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная про­изводительность труда MPL увеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала МРк снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной техноло­гии приводит к отклонению от оптимального объема производства, т. е. к неэффективности производства.

Однако, если мы увеличим параметр Л, например, внедрив более произ­водительную технологию, то получим одновременное повышение МРк и MPV что является условием интенсивного экономического роста.

Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа ~ постоян­ство отношения дохода от труда к доходу от капитала(Р/а), т. е. посто­янство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте.

Исследования американского сенатора и экономиста Пола Дугласа по­казали, что в Соединенных Штатах за сорок лет (с 1948 по 1989 гг.) соот­ношение р/аколебалось в пределах между 2 и З2, в результате чего оплата труда в 2-3 раза превышала вознаграждение капитала.1 Можно предполо­жить, что постоянные рамки колебания соотношения |3/азаданы техноло­гически. Колебания /5/авнутри этих рамок могут быть объяснены откло­нением в соотношении / и S, так как вряд ли заработная плата, шкала на­логообложения и нормы амортизации почти ежегодно могли претерпевать значительные изменения.

Макроэкономическое равенство /= 5лежит в основе механизма эконо­мического роста еще одной неоклассической модели, которая также бази­руется на производственной функции. Она называется моделью роста Со-лоу, по имени американского экономиста, лауреата Нобелевской премии Роберта Солоу.

>Производственная функция Кобба-Дугласа

Назначение производственной функции

Определение 1

Производство с точки зрения экономики представляет собой процесс применения технологий и ресурсов для получения продуктов, предназначенных для продажи.

Таким образом, это процесс создания товара и услуги, которая обладает определенной полезностью для покупателей. Любая деятельность по производству товаров и услуг является деятельностью направленной на удовлетворения потребностей отдельных индивидов или общества в целом.

Соотношение платежеспособного спроса на товары и предложения определяет цену товара или услуги. Количественной характеристикой предложения или объема производства и стоимости товаров является производственная функция. Производственный процесс оказывает прямое влияние на благосостояние общества в целом: чем выше степень удовлетворения индивидуальных и общественных потребностей и удельный вес среднего класса в общем численности населения, тем выше уровень национального благосостояния и развития.

Задача производственной функции состоит в том, чтобы объяснить рост благосостояния общества в процессе выпуска товаров и услуг.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Особенности производственной функции Кобба-Дугласа

В качестве двух основных факторов производства выступают капитал и труд. Определенная пропорциональность их сочетания создает условия для получения продукта. Назначение производственной функции Кобба-Дугласа состоит в том, чтобы отражать технологическое соотношение объема труда и капитала, необходимое для производства того или иного товара в необходимом количестве.

Данная производственная функция является двухфакторной. Впервые ее предложил шведский экономист Кнут Векселль, но статистическая проверка была выполнена в период с 1927 по 1947 год двумя учеными – Чарльзом Коббом и Полом Дугласом (в 1928 году вышла их работа под названием «Теория производства»). Именно фамилии этих ученых и дали название производственной функции.

Также термин «производственная функция Кобба-Дугласа» в узком смысле применяется для обозначения постоянной отдачи от масштаба.

Производственная функция, разработанная Коббом и Дугласом, представляет собой первую функцию агрегированного производства. Ее применение позволило осуществлять моделирование не только мелкомасштабных процессов, но и целых отраслей экономики. Статистическое подтверждение данной функции стало началом нового этапа макроэкономического развития, позволяющего дать оценку эффективности производства на уровне национального хозяйства.

Формула производственной функции Кобба-Дугласа

В формуле производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость объем производства определенного товара от сочетания двух факторов производства – труда и капитала. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Q = A • L^α • K^β$, где:

  • $Q$ – показатель объема производства, характеризующий реальную стоимость товаров и услуг, произведенных в определенный период времени;
  • $A$ – общий показатель технологической продуктивности факторов. Этот показатель является наиболее трудным для определения и предусматривает с определенным уровнем погрешности возможность несовершенства оценки вклада труда и капитала, а также влияние иных факторов;
  • $L$ – затраты труда в производство определенного объема продукции, выражающиеся в количестве человеко-часов, отработанных всеми работниками за указанный период времени;
  • $K$ – затраты вложенного капитала в производство определенного объема продукции, выражающиеся в реальной стоимости оборудования и машин, используемых в производстве;
  • $α$ – технологическая эластичность труда;
  • $β$ – технологическая эластичность капитала.

Основу данной формулы составляют статистические расчеты, свидетельствующие о том, что для развитых стран характерны постоянные доли вкладов труда и капитала на протяжении длительного времени. Однако в настоящее время данное утверждение подвергается сомнению.

Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — производственная функция (или функция полезности), отражающая зависимость объёма производства Q {\displaystyle Q} от создающих его факторов производства — затрат труда L {\displaystyle L} и капитала K {\displaystyle K} .

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

Q = A × L α × K β {\displaystyle Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }} ,

где A {\displaystyle A} — технологический коэффициент, α ⩾ 0 {\displaystyle \alpha \geqslant 0} — коэффициент эластичности по труду, а β ⩾ 0 {\displaystyle \beta \geqslant 0} — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени ( α + β {\displaystyle \alpha +\beta } ) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства:

Q ∼ L 0.73 × K 0.27 {\displaystyle Q\sim L^{0.73}\times K^{0.27}} .

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES-функция): Q = A − 1 ρ {\displaystyle Q=A^{-{\frac {1}{\rho }}}} , для которой в пределе при ρ → 0 {\displaystyle \rho \rightarrow 0} получаем Q = A × L α × K β {\displaystyle Q=A\times L^{\alpha }\times K^{\beta }} .

Введение

Экономический рост — это увеличение масштабов совокупного производства и потребления в стране, характеризуемое прежде всего такими макроэкономическими показателями, как валовой национальный продукт, валовой внутренний продукт, национальный доход.

Экономический рост сопровождается целым рядом количественных и качественных изменений в обществе, включая структурную трансформацию экономики. Для стран с экономическим ростом характерны индустриализация, сопровождаемая снижением доли сельского хозяйства в объеме ВВП и занятости в сельском хозяйстве, сокращением доли продовольственных товаров в совокупном потреблении, роста доли сбережений и государственных расходов в ВВП.

Экономический рост измеряется темпами роста или прироста этих показателей за определенный период времени — отношение показателей в конце и в начале периода или отношение прироста показателя к его начальному значению.

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. В работе рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа.

Глава 1. Производственная функция Кобба-Дугласа

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

,

где

— объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т – технология;

N – предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба – Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые — экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб — создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

Q=AK α *L β ,

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба — Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

α+ β=1 (

).

2) непропорционально – возрастающую

);

3) убывающую

.

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. График производственной функции Кобба – Дугласа с одной переменной изображен на рис. 1 (кривая ТРн ).

Рис. 1. Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

2.1 Закон убывающей отдачи

В краткосрочном периоде действует закон убывающей предельной производительности. Закон убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние техники и технологии производства, если в производственном процессе будут применены новейшие изобретения и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может изменить границы действия закона.

Если капитал является фиксированным фактором, а труд – переменным, то фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная производительность труда (предельный продукт труда – MPL ) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда

,

т.е. прирост производительности к совокупному продукту (TPL )

.

Аналогично определяется предельный продукт капитала MPK .

Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TPL ), среднего (АPL ) и предельного продуктов (MPL ) (рис. 1).

В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.

На 3 этапе, когда количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное значение, поэтому ТР начинает снижаться. Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет большим, чем средняя производительность (АРL ) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

2.2 Эффект масштаба

1. Проявляется в изменении долговременных средних издержек производства (LATC).

2. Кривая LATC является огибающей минимальных краткосрочных средних затрат фирмы на единицу продукции (рис. 2).

3. Долгосрочный период в деятельности фирмы характеризуется изменением количества всех используемых производственных факторов.

Рис. 2. Кривая долгосрочных и средних издержек фирмы

Реакция LATC на изменение параметров (масштаба) фирмы может быть различной (рис. 3).

Рис. 3. Динамика долгосрочных средних издержек

I этап:
положительный эффект от масштаба
Увеличение объема выпуска сопровождается снижением LATC, что объясняется эффектом экономии (например, за счет углубления специализации труда, применения новых технологий, эффективное использование отходов).
II этап:
постоянная отдача от масштаба
При изменении объема издержки остаются неизменными, то есть рост количества применяемых ресурсов на 10% вызвал рост объемов производства также на 10%.
III этап:
отрицательный эффект масштаба
Рост объема производства (например, на 7%) вызывает рост LATC (на 10%). Причиной ущерба от масштаба могут быть технические факторы (неоправданные гигантские размеры предприятия), организационные причины (рост и негибкость административно-управляющего аппарата).

Основные современные модели экономического роста, как и любые модели представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический рост.

>Двухфакторная модель Кобба-Дугласа

Экономический рост и производственная функция

Экономический рост представляет собой повышение масштабов совокупного производства и объемов потребления в стране, которое характеризуется такими показателями, как: валовой внутренний продукт, валовой национальный продукт, национальный доход.

Вместе с экономическим ростом происходит целый ряд качественных и количественных изменений в обществе, а также структурная трансформация. В странах с экономическим ростом происходит индустриализация, которая сопровождается снижением доли сельскохозяйственной отрасли в общем объеме ВВП и занятости в данной сфере, сокращением продовольственных товаров в общем потреблении, ростом сбережений и увеличением государственных расходов на ВВП.

Измеряется экономический рост темпами роста или же прироста в определенный временной период.

Определение 1

Производственной функцией является зависимость между производственными факторами и максимально возможной величиной продукта, который производится при помощи данных факторов.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Понятие производственной функции является основным в неоклассической теории. Производственная функция применяется с целью определения маржинального продукта и общей эффективности. Последняя – это краеугольный камень всех видов экономических исследований.

Первостепенная задача, решаемая производственной функцией, состоит в определении эффективности использования производственных факторов, а также в распределении между ними полученных доходов, не учитывающие вероятные технологические проблемы.

Виды производственных функций

В экономико-математических моделях, характеризующих зависимость выпуска продукции от различных факторов и состояния национального хозяйства, могут учитываться такие показатели:

  • Объем произведенных товаров как в стоимостном, так и в натуральном выражении;
  • Объем затраченного основного капитала и фондов;
  • Вложенные трудовые ресурсы;
  • Расходы при производстве.

Производственные функции делятся на три группы:

  1. Однофакторные, куда входят линейная, параболическая, степенная и показательная функция;
  2. Двухфакторные: функция Леонтьева, Аллена, Кобба-Дугласа, Солоу, линейная, функция с постоянной заменой используемых ресурсов;
  3. Многофакторные.

Двухфакторные функции применяются в различных областях. Функция Леонтьева используется при моделировании мелкомасштабных или полностью автоматизированных процессов. В ней не допускается отклонение от строго детерминированной технологической нормы ресурсов на единицу выпускаемой продукции. Функция Кобба-Дугласа применяется для описания среднемасштабных процессов. Главным условием ее использования является относительно устойчивое и стабильное функционирование данных процессов. Функция Аллена применяется в случае рассмотрения мелкомасштабных процессов с ограниченными возможностями переработки ресурсов. Чаще она используется в ситуациях, когда чрезмерный рост факторов отрицательно воздействует на процесс выпуска. Функция Слоу используется при моделировании систем любых масштабов. Основным условием является зависимость нормы замещений от ресурсных пропорций.

Двухфакторная модель Кобба-Дугласа

Два основных фактора производства – это труд и капитал. Их взаимодействие в определенных пропорциях позволяет создавать конечный продукт. Производственная функция Кобба-Дугласа – это технологическое соотношение объема трудовых ресурсов и капитала для производства некоторого количества продукции. Данная модель относится к двухфакторной и статически была проверена двумя учеными Коббом и Дугласом в 1927-1947 годах.

В производственной функции Кобба-Дугласа отражается зависимость производства какого-либо товара от соотношения капитала и труда. В общем виде формула имеет следующий вид:

$Y = A • Lb • Ka$, где:

  • $Y$ – это общий объем произведенный продукции, т.е. реальная стоимость товаров, которые были выпущены в данном году;
  • $L$ – трудовой вклад, т.е. количество человеко-часов, которые отработаны в данном периоде;
  • $K$ – величина затраченного капитала, т.е. реальная стоимость оборудования, машин и зданий;
  • $A$ – это общая продуктивность всех факторов;
  • $a$ и $b$ – это эластичность труда и капитала (данные значения определяются существующими технологиями).

Разработка производственной функции Кобба-Дугласа велась на основе статистической информации. Она свидетельствовала о том, что доля трудового вклада и вклада капитала на протяжении долгих лет была постоянной во большинстве развитых стран. Однако, на сегодняшний день многие ученые ставят под сомнение данное положение.

Важную роль при расчете предполагаемого объема производства продукции по формуле Кобба-Дугласа играют параметры a и b. Эластичность факторов показывает влияние изменения их соотношения на физическое производство при учете равенства прочих условий. К примеру, если значение a равно 0,45, то увеличение использования ресурсов труда на 1% приведет к росту объема выпускаемой продукции приблизительно на 0,45%.

Коэффициенты могут принимать три варианта значений:

  1. $a + b = 1$. В данном случае производственная функция обладает постоянной отдачей от масштаба. Это говорит о том, что при увеличении использования труда и капитала на 100%, удвоится общий объем выпуска товаров.
  2. $a + b$
  3. $a + b > 1$. В данном случае отдача от масштаба уменьшается.

При совершенной конкуренции и равенстве эластичности капитала и труда коэффициенты a и b отражают доли каждого фактора в общем производстве.

Национальное хозяйство является сложной системой, состоящей из множества элементов и их взаимосвязей. Именно поэтому возникают трудности при построении какой-либо идеальной модели. Основные проблемы при использовании функции Кобба-Дугласа делятся на две области:

  • Анализ размерностей. Приверженцы австрийской экономической школы критиковали рассматриваемую модель за отсутствие точных показателей.
  • Отсутствие оснований микроэкономического характера.

1.2. Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ) , но все они сводятся к одному – это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

  • По наличию условия оптимальности:

    • Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» ;

    • Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» ;

  • По учёту неопределённости:

    • Стохастические (учитывают условие неопределённости);

    • Детерминированные (не учитывают условие неопределённости);

Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

«Процесс построения производственной функции включает этапы экономико-математического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров при помощи корреляционного и регрессионного анализа» .

Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом.

Пусть обозначает вектор затрат ресурсов,,;— вектор объёмов производства,,. Совокупность технологических условий может быть формально записана как множествоZпар(X, Y), в неотрицательном ортанте пространстваRn+m. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств(X*,Y*), такой, что, еслиX<X*, аY>Y*, то(X, Y) = (X*,Y*). То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначимZ*.

Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием, M1, и не воспроизводимые,M2. Соответственно,X1– объёмы воспроизводимых ресурсов,X2– объёмы не воспроизводимых ресурсов.

В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации:

. (1.2.1)

Множество Z*можно описать с помощью многозначного отображенияF(X)– общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов.

По данным о входных переменных Xмажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выходY. В отличие от структурных оптимизационных моделей, в которых условия оптимизации задаются в явном виде, общая производственная функция представляет собой своеобразный «оптимизирующий чёрный ящик».

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция

, , (1.2.2)

характеризует максимально возможный объём выпуска продукта jв зависимости от затрат всехmресурсов. Каждой точкесоответствует единственный максимальный выпуск. Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде:

(1.2.3)

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.2.3), но при этом не препятствует использованию (1.2.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара.

В качестве критерия классификации производственных функций, кроме уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»:

    1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

    2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами;

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции означает, что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее мы будем опускать индекс j, когда речь идёт о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами :

  1. Если X=0, то иy=0;

  2. Если , то, причём, если, то; из этого, в частности, следует, чтопри. В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурсаsсверх величиныприводит к уменьшению объёма производства, надо непосредственно использовать, а излишекоставить в резерв. Еслиy=0при положительных затратах многих ресурсов, но приxs=0, то это означает, что ресурсsабсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.).

Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска , называется изоквантой.

На рисунке 1.2 изображены изокванты – кривые в пространстве двух ресурсов. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска Q1,Q2,Q3. В общем случае изокванты – это поверхности вm-мерном пространстве ресурсов. Поскольку, то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат.

Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант:

  1. Изокванты никогда не пересекаются друг с другом;

  2. Большему выпуску продукции соответствует более удалённая от начала координат Изокванта.

  3. Если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не пересекают оси координат.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя показателями:

    1. Средняя эффективность ресурса – функция .

    2. Предельная эффективность ресурса – частная производная производственной функции .

показывает на сколько увеличится выпуск продукции, при изменении затрат ресурса iна единицу.

Из свойства предельной эффективности ресурса производственных функций следует, что . Как правило,.

Если , то это означает, что эффективность использования ресурса падает. Данное условие называют «законом убывающей предельной эффективности ресурсов». Стоит, однако, учитывать, что уменьшение предельной эффективности ресурса перестаёт быть законом, как только начинает учитываться научно-технический прогресс. Тогда средняя и предельная эффективность определённого (i-го) ресурса при увеличении других ресурсов изменяется иначе и, как правило, выполняются отношения:

, , (1.2.4)

, , (1.2.5)

Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса kулучшает условия применения ресурсаi. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от фондовооружённости.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов может быть приближённо выражено дифференциалом . В таком случае условие эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точкевыводится из формулы:

(1.2.6)

В частности, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости каких-либо двух ресурсов kиlопределяется формулой:

(1.2.7)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль кривой изокванты. Таким образом, изокванты – убывающие функции по отношению к каждой оси координат. Предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости – это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рисунке 1.2 ,и– предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости второго ресурса по отношению к первому.

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены равны, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рисунке 1.2 изображены изоклинали IиII.

При увеличении использования ресурса lего предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают всё меньшее количество ресурсаk. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости уменьшается:

(1.2.8)

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты представлены вогнутыми кривыми. Если эта особенность проявляется на множестве всех mресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами:

  1. Множества – выпуклые.

  2. Изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат.

Для характеристики влияния каждого ресурса на объём выпуска используют помимо показателей эффективности использования ресурсов, и показатель эластичности выпуска от затрат различных ресурсов:

(1.2.9)

iпоказывает на сколько изменится объём выпуска при изменении затратi-го ресурса на единицу. Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (1.2.9) называется точечным. В общем же случае коэффициент эластичности – это непрерывная функция отX0.

Однако в экономических расчётах чаще используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X0, а для некоторых интервалов изменения компонент вектораX0. Такие коэффициенты называются дуговыми коэффициентами эластичности и рассчитываются по формуле:

(1.2.10)

Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат ресурсов применяется понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозаменяемости ресурсов klхарактеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсовkиlк относительному изменению предельной нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов:

(1.2.11)

Например, говорит о том, что для увеличения нормы предельной взаимозаменяемости ресурсовklна 1% необходимо увеличить соотношение затрат ресурсовkиlна 5%.

Чем выше эластичность взаимозаменяемости ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности ресурсы абсолютно взаимозаменяемы. При эластичности равной нулю, возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы дополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определённом комплекте.

На рисунке 1.3 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности взаимозаменяемости ресурсов в интервале . «Прямоугольная ломаннаяABC– изокванта с эластичностьюозначает, что сокращением одного ресурса нельзя увеличить использование второго, то есть ресурсы абсолютно не взаимозаменяемые (σ1<σ2<σ3). ПрямаяАСпредставляет собой изокванту с бесконечной эластичностью. Она выражается формулой, гдеa1иa2– положительные числа» .

Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте постоянна и равна:

(1.2.12)

В экономическом моделировании используются аддитивные и мультипликативные производственные функции.

Аддитивные производственные функции имеют вид:

(1.2.13)

Линейные производственные функции являются аддитивными. Стоит отметить, что все члены в правой части равенства (1.2.13) должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью функции y, иначе их нельзя складывать. Постояннаяa0 при этом соответствует той части выпуска, которая может быть приписана действию условно-постоянных затрат, т.е. затрат, не зависящих от интенсивности выпуска. Это относится ко всем аддитивным производственным функциям .

Процессу, для которого выбрана функция (1.2.13) должна быть присуща постоянная отдача на единицу масштаба и постоянная предельная эффективность факторов производства.

При i=2изоквантами функции являются прямые. Следовательно, предельные нормы замещения ресурсов постоянны, т.е. предполагается, что определённый уровень выпуска может быть достигнут также при соответствующих затратах только одного какого-либо фактора. Этим свойством любая аддитивная функция отличается от мультипликативной.

Основной недостаток аддитивной функции заключается в том, что производственный результат будет положительным даже в том случае, когда один из ресурсов не используется вовсе, то есть, когда . Это означает следующее: например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какой-то производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу.

Именно поэтому чаще всего в экономических исследованиях используют мультипликативные производственные функции, в частности однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция называется однороднойn-й степени, если выполняется следующее соотношение :

(1.2.14)

Это означает, что с ростом затрат производства в λраз результат производства вырастет вλn раз. Показатель степени однородностиnхарактеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат.

Теоретически возможны три случая:

  1. Эффективность остаётся постоянной (n=1);

  2. Эффективность падает (n<1);

  3. Эффективность растёт (n>1).

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы .

Если однородные функции f1иf2удовлетворяют соотношению, то они имеют одно и то же семейство изоквант, но для функций с большим показателем степениnизокванты сдвинуты ближе к началу координат.

Для однородных функций справедливо уравнение Эйлера:

(1.2.15)

Разделив обе части уравнения (1.2.15) на y, получим:

(1.2.16)

В соответствии с (1.2.9), выражение – это коэффициент эластичностиδi. Поэтомуnравно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затратам ресурсов.

При n=1формула (1.2.16) приобретает следующий экономический смысл:

. Так как — предельная эффективность единицы ресурсаi, томожно интерпретировать как объём продукции, произведённой за счёт ресурсаi. Весь объём производстваyтаким образом как бы складывается из частей, произведённых за счёт использования каждого ресурса по отдельности.

Однако изложенная экономическая интерпретация выражения имеет сугубо условный характер, так как нельзя забывать, что на самом деле продукция не может создаваться только путём сочетания ресурсов. Если какой-либо ресурс sабсолютно необходим для производства, то никакие затраты других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение показателей предельной эффективности заключается не в том, что он определяют роль каждого ресурса, а позволяют оценить степень влияния каждого из них на изменение объёмов выпуска.

Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида:

(1.2.17)

Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них xs=0, то и объём выпускаy=0.

Параметр αинтерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем:

— средняя эффективность ресурса s.

— предельная эффективность ресурса s.

— предельная норма эквивалентной замены ресурсов.

— коэффициент эластичности производства по ресурсу i.

— коэффициент эластичности замены ресурсов.

Частным случаем функции (1.2.17) является однородная функция первой степени, в которой и. Коэффициенты эластичности такой функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности.

В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом.

В 1924 г. Поль Дуглас, изучая данные по объему промышленного выпуска США за разные годы и количества используемых труда и капитала в это время, случайно обнаружил зависимость, которая впоследствии с помощью его друга-математика Кобба была выражена функцией, имеющей вид:

, (1.2.18)

где Q– объём выпуска продукции,L– затраты труда,K– затраты производственных фондов или «капитала». При этом обязательным условием существования функции является:

0<α<1. (1.2.19)

Функция достаточно точно отражала зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала . Эта производственная функция имела постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависели от коэффициента α.

Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид:

.

Соответственно, предельная норма замещения будет:

,

а коэффициенты эластичности: EL = α;EK = 1 – α.

На рисунке 1.4 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма Q. Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения – при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондовcK1доK2 приводит к сокращению трудовых ресурсов отL1доL2, причём

При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются.

На рисунке 1.4 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда .

Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Её общий вид:

(1.2.20)

Функция (1.2.20) является однородно производственной функцией степени nи получается путём решения дифференциального уравнения (1.2.11) приσ=const. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть:. При этомили.

Если , то, если же, то. Прифункция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.2.17) .

Как уже отмечалось ранее, σопределяет форму изоквант. Если, тои форма изоквант приближается к линейной. Если же, тои форма изоквант приближается к прямоугольной.

В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще – функцию Кобба-Дугласа) либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) – это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

, (1.2.21)

где j– параметр НТП, аt– время.

Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они почему-то строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа. Вот что говорят по поводу появления учёта НТП: «Началом исследований в этом направлении послужило замеченное систематическое отклонение фактических показателей развития экономики США от их значений, вычисленных по функции Кобба-Дугласа. В частности, анализ с её помощью темпов роста валового национального продукта показывал наличие систематического расхождения между его значением, соответствующим левой части формулы производственной функции и величиной её правой части.

Пока указанный «остаток» был сравнительно мал, его приписывали действию различных несущественных факторов. В последующем экономист Р.Солоу предположил, что этот «остаток» отражает влияние автономного научно-технического прогресса и ввёл для его оценки в формулу Кобба-Дугласа время в качестве самостоятельного фактора» . Для того, чтобы понять почему требуется учитывать НТП, стоит обратиться к методу оценивания параметров данной производственной функции.

А производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции ). То есть оценивается не само уравнение (1.2.18), а следующее:

(1.2.22)

Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.2.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными .

Если с помощью оценок модели (1.2.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии:

, (1.2.23)

где ε– случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК).

Проэкспонировав левую и правую части равенства (1.2.23), получим:

(1.2.24)

Сравнивая (1.2.21) и (1.2.24), получим, что .

То есть ошибка аппроксимации ε, которую Р.Солоу приписал НТП, и является причиной смещения .

Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства. Поэтому задача развития инструментария производственных функций является важной и актуальной.

Производственная функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преоб­разования уже известной нам простейшей производственной функции Q = F (L, К) в такую мо­дель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознагражда­ется участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следую­щий вид:

Q = А∙Кα Lβ ,

где α изменяется в пределах от 0 до 1, a β = 1 — α.

Функция Кобба-Дугласа — модель с двумя переменными факторами производства. Параметр А — коэффициент, отражающий уровень техно­логической производительности, и в краткосрочном периоде он не изме­няется. Показатели α и β — коэффициенты эластичности объема выпус­ка (Q) по фактору производства, т. е. по капиталу К и труду L соответ­ственно.

Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа.

Первое свойство – постоянство, убывание или возрастание отдачи от масштаба (см. далее). Второе важное свойство функции Кобба-Дугласа связано с изменением предельной производительности факторов (см. далее). Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использо­вать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная про­изводительность труда МРL увеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала МРК снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение пропорции между трудом и капиталом при заданной техноло­гии приводит к отклонению от оптимального объема производства, т. е. к неэффективности производства. Однако, если мы увеличим параметр А, например, внедрив более произ­водительную технологию, то получим одновременное повышение МРК и MPL, что является условием интенсивного экономического роста. Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа — постоян­ство отношения дохода от труда к доходу от капитала ( β / α), т. е. посто­янство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте.

Изокванта, изокоста. Предельная норма технологического замещения.

Концептуально неоклассическая теория проиводства, которую мы ис­следуем, базируется на положении о взаимозаменяемос­ти факторов производства. Производственная функция, представленная в таблице выше, показыва­ет, что один и тот же объем выпуска продукции может быть достигнут при различных сочетаниях факторов. Для фирмы, стремящейся к максимизации прибыли, наилучшей комбинацией факторов окажется та, которая обеспе­чивает наименьшие издержки. Следовательно, задача фирмы сводится к тому, чтобы обеспечить минимизацию издержек при каждом заданном объеме производства.

Для выявления всех возможных комбинаций факторов при выпуске заданного объема продукции в экономической теории используется понятие изокванты. Слово изокванта происходит от латинского «iso» — равный и «quant» — количество, т. е. равное количество. Изокванта представляет со­бой кривую, любая точка на которой показывает различные комбина­ции двух переменных факторов, обеспечивающие один и тот же объем выпуска продукции. Все комбинации факторов производства, представ­ленные на изокванте, являются технологически эффективными. Например, сочетание 3 ед. фактора К и 4 ед. фактора L может обеспечить выпуск про­дукции, равный 67 ед. (см. таблицу выше). Однако, если используется менее производительная технология, то вышеуказанное сочетание двух факторов даст объем производства, равный, например, 63 ед. Это означает, что ре­сурсы используются неэффективно, поэтому на изокванте с объемом, рав­ном 63 ед., не будет представлена рассмотренная выше комбинация факто­ров (3 ед. К и 4 ед. L). Вернемся к данным таблицы, которые показывают, что выпуск продукции, равный 90 ед., может быть получен при следующих комбина­циях факторов:

• 3 ед. L и 8 ед. К;

• 4 ед. L и 6 ед. К;

• 6 ед. L и 4 ед. К;

• 8 ед. L и 3 ед. К.

Все комбинации будут находиться на изокванте с объемом в 90 ед. Дру­гие комбинации двух факторов (6 ед. L и 8 ед. К; 7 ед. L и 7 ед. К; 10 ед. L и 6 ед. К) дают выпуск продукции, равный 116 ед., и будут находиться на изокванте с соответствующим объемом выпуска. Изобразив несколько изо­квант, мы получим карту изоквант (см. рисунок ниже).

Изокванты обладают следующими свойствами (аналогично кривой безразличия):

• изокванты никогда не пересекают­ся в силу действия принципа транзитив­ности (это означает следующее: если какая-то альтернатива А предпочтительнее, чем альтернатива Б, а Б предпочтительнее С, то альтернатива А предпочтительнее С). Каждой изокванте соответствует определенный объем выпуска продукции, причем, чем дальше изокванта отстоит от начала координат, тем больший объем выпуска обеспечивается;

• изокванты имеют отрицательный наклон. Это объясняется тем, что для сохранения неизменным объема выпуска продукции при уменьшении использования одного фактора необходимо увеличить применение другого фактора;

• изокванты становятся более пологими по мере продвижения сверху вниз вдоль них. Это связано с тем, что в верхней части изокванты, как вид­но на рисунке выше, для выпуска заданного объема продукции используется большое количество капитала и незначительное количество труда. При дви­жении вниз вдоль изокванты требуется все больше единиц труда для заме­щения каждой единицы капитала, вследствие падения предельной произво­дительности труда по мере наращивания его количества. Этим объясняется выпуклая по отношению к началу координат форма изоквант.

С помощью наклона изоквант можно определить степень замещения одного фактора производства другим. Например, фирма производит про­дукцию с использованием двух переменных факторов: капитала (К) и тру­да (L). Начнем двигаться вниз по изокванте с объемом выпуска продукции, равным 116 ед. (см. рисунок выше), сокращая количество применяемого капита­ла. Для того чтобы остаться на этой изокванте, т. е. обеспечить тот же объем производства, фирме потребуется увеличить количество применяе­мого труда. Отношение изменения в количестве одного фактора к из­менению в количестве другого фактора при сохранении неизменным объема производства называется предельной нормой технологическо­го замещения (MRTS):

MRTSKL = ∆K / ∆L

В нашем примере MRTSKL представляет собой пропорцию замещения ка­питала трудом при условии, что мы остаемся на той же самой изокванте с объемом в 116 ед. Как известно, наклон кривой в каждой точке определяется наклоном касательной в данной точке, который, в свою очередь, равен отношению величины изменения фактора .К к величине изменения фактора L (∆K / ∆L). Это означает, что наклон изокванты равен предельной норме технологичес­кого замещения. В силу того, что изокванта имеет отрицательный наклон, MRTSKLs любой точке будет равна наклону касательной в данной точке, умноженной на -1, т. е.

MRTSKL = ∆K / ∆L ∙ (-1)

Если вы хорошо усвоили категорию предельной нормы замещения MRS (теория поведения потребителя – ординализм), то понятие MRTS не покажется вам слишком сложным.

Как видно из рисунка выше, изокванты имеют выпуклую по отношению к началу координат форму. Это связано с тем, что по мере движения вниз по изокванте MRTSKL уменьшается. Объясняется этот факт следующим обра­зом: по мере увеличения количества фактора L его предельный продукт (см. далее) умень­шается относительно предельного продукта фактора К.

Изокванты могут иметь различный вид в зависимости от степени взаи­мозаменяемости ресурсов. Рассмотрим три случая. И вновь нам поможет аналогия с взаимозаменяемостью товаров при анализе различной конфигу­рации кривых безразличия. Ресурсы могут обладать абсолютной взаимозаменяемостью. Это означа­ет, что заданный объем выпуска продукции может быть обеспечен как путем использования какого-либо одного из двух переменных ресурсов, так и путем их комбинаций. В этом случае изокванта будет иметь вид прямой линии (см. рисунок а), a MRTS будет постоянной величиной. Например, нефть и газ, как сырье для получения энергии, являются абсолютно взаимозаменяемыми.

Второй случай (рис. б) — ресурсы обла­дают свойством абсолютной комплементарности. Это означает, что два переменных ресурса, использу­емых для производства данного вида продукции, имеют одну опре­деленную пропорцию. Иначе гово­ря, заданная производственная фун­кция предполагает наличие един­ственно возможной комбинации ре­сурсов. В этом случае MRTS будет равна 0, а изокванта будет иметь вид прямого угла. Обязательным ус­ловием перехода на более высокую изокванту такого вида является соблю­дение заданной пропорциональности в использовании ресурсов. Если бу­дет увеличено количество одного ресурса без соответствующего изменения в количестве другого, то перейти на другую изокванту не представляется возможным. В качестве примера такой производственной системы можно привести сферу транспортных услуг. Для обеспечения роста объема услуг необходимо увеличение в пропорции один к одному как автомобильного парка, так и численности водителей при условии односменного режима работы. Еще более простой пример: для уборки улицы фирма по предос­тавлению жилищно-коммунальных услуг может нанять 1 дворника, снаб­див его одной метлой. Сочетание 20 дворников и 1 метлы экономически бессмысленно, так же, как и сочетание 1 дворника и 20 метел. Переход на более высокую изокванту в данном случае оставляет неизменной пропор­цию 1:1, например, 3 дворника и 3 метлы.

И, наконец, третий случай (рис. в) — изокванты, отражающие час­тичную взаимозаменяемость ресурсов. В этом случае производство продукции может осуществляться с обязательным использованием двух пере­менных ресурсов, например, труда и капитала. Однако их комбинации мо­гут быть самыми различными в соответствии с заданной производственной функцией. Данная форма изоквант встречается чаще всего, и ее принято считать стандартной.

Вам также может понравиться

Об авторе admin

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *